Противоположные числа, Сравнение чисел (УМК Зубарева). Тесты по математике: Положительные и отрицательные числа, Модуль числа. Противоположные числа, Сравнение чисел (УМК Зубарева) Модуль неотрицательного числа является неотрицательным числом

Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.

Например, модулем числа 5 является 5, модулем числа –5 тоже является 5.

То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.

Обозначается так: |5|, |х |, |а | и т.д.

Правило :

Пояснение :

|5| = 5
Читается так: модулем числа 5 является 5.

|–5| = –(–5) = 5
Читается так: модулем числа –5 является 5.

|0| = 0
Читается так: модулем нуля является ноль.

Свойства модуля:

1) Модуль числа есть неотрицательное число: |а | ≥ 0 2) Модули противоположных чисел равны: |а | = |–а | 3) Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: |а | 2 = a 2 4) Модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел: |а · b | = |а | · |b | 6) Модуль частного чисел равен отношению модулей этих чисел: |а : b | = |а | : |b | 7) Модуль суммы чисел меньше или равен сумме их модулей: |а + b | ≤ |а | + |b | 8) Модуль разности чисел меньше или равен сумме их модулей: |а – b | ≤ |а | + |b | 9) Модуль суммы/разности чисел больше или равен модулю разности их модулей: |а ± b | ≥ ||а | – |b || 10) Постоянный положительный множитель можно вынести за знак модуля: |m · a | = m · |а |, m >0 11) Степень числа можно вынести за знак модуля: |а k | = |а | k , если а k существует 12) Если |а | = |b |, то a = ± b

Геометрический смысл модуля.

Модуль числа – это величина расстояния от нуля до этого числа.

Для примера возьмем снова число 5. Расстояние от 0 до 5 такое же, что и от 0 до –5 (рис.1). И когда нам важно знать только длину отрезка, то знак не имеет не только значения, но и смысла. Впрочем, не совсем верно: расстояние мы измеряем только положительными числами – или неотрицательными числами. Пусть цена деления нашей шкалы составляет 1 см. Тогда длина отрезка от нуля до 5 равна 5 см, от нуля до –5 тоже 5 см.

На практике часто расстояние отмеряется не только от нуля – точкой отсчета может быть любое число (рис.2). Но суть от этого не меняется. Запись вида |a – b| выражает расстояние между точками а и b на числовой прямой.

Пример 1 . Решить уравнение |х – 1| = 3.

Решение .

Смысл уравнения в том, что расстояние между точками х и 1 равно 3 (рис.2). Поэтому от точки 1 отсчитываем три деления влево и три деления вправо – и наглядно видим оба значения х :
х 1 = –2, х 2 = 4.

Можем и вычислить.

│х – 1 = 3
│х – 1 = –3

│х = 3 + 1
│х = –3 + 1

│х = 4
│ х = –2.

Ответ : х 1 = –2; х 2 = 4.

Пример 2 . Найти модуль выражения:

Решение .

Сначала выясним, является ли выражение положительным или отрицательным. Для этого преобразуем выражение так, чтобы оно состояло из однородных чисел. Не будем искать корень из 5 – это довольно сложно. Поступим проще: возведем в корень 3 и 10. Затем сравним величину чисел, составляющих разность:

3 = √9. Следовательно, 3√5 = √9 · √5 = √45

10 = √100.

Мы видим, что первое число меньше второго. Значит, выражение отрицательное, то есть его ответ меньше нуля:

3√5 – 10 < 0.

Но согласно правилу, модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. У нас отрицательное выражение. Следовательно, надо поменять его знак на противоположный. Выражением, противоположным 3√5 – 10, является –(3√5 – 10). Раскроем в нем скобки – и получим ответ:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Ответ .

Как особое число не имеет знака.

Примеры записи чисел: + 36 , 6 ; − 273 ; 142. {\displaystyle +36{,}6;\ {-}273;\ 142.} Последнее число не имеет знака и поэтому положительно.

Следует отметить, что плюс и минус указывают знак для чисел, но не для буквенных переменных или алгебраических выражений. Например, в формулах − t ; a + b ; − (a 2 + b 2) {\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^{2}+b^{2})} символы плюса и минуса задают не знак выражения, перед которым они стоят, а знак арифметической операции, так что знак результата может быть любым, он определяется только после вычисления выражения.

Кроме арифметики, понятие знака используется в других разделах математики, в том числе для нечисловых математических объектов (см. ниже). Понятие знака важно также в тех разделах физики, где физические величины делятся на два класса, условно названные положительными и отрицательными - например, электрические заряды , положительная и отрицательная обратная связь , разнообразные силы притяжения и отталкивания.

Знак числа

Положительные и отрицательные числа

Нулю не присвоен никакой знак, то есть + 0 {\displaystyle +0} и − 0 {\displaystyle -0} - это в арифметике одно и то же число . В математическом анализе смысл символов + 0 {\displaystyle +0} и − 0 {\displaystyle -0} может различаться, см. об этом Отрицательный и положительный ноль ; в информатике компьютерная кодировка двух нулей (целого типа) может отличаться, см. Прямой код .

В связи со сказанным вводятся ещё несколько полезных терминов:

• Число неотрицательно , если оно больше или равно нулю.
• Число неположительно , если оно меньше или равно нулю.
• Положительные числа без нуля и отрицательные числа без нуля иногда (чтобы подчеркнуть, что они ненулевые) называют ""строго положительными" и "строго отрицательными" соответственно.

Та же терминология иногда используется для вещественных функций . Например, функция называется положительной , если все её значения положительны, неотрицательной , если все её значения неотрицательны и т. д. Говорят также, что функция положительна/отрицательна на заданном интервале её определения..

Пример использования функции см. в статье Квадратный корень#Комплексные числа .

Модуль (абсолютная величина) числа

Если у числа x {\displaystyle x} отбросить знак, полученное значение называется модулем или абсолютной величиной числа x {\displaystyle x} , оно обозначается | x | . {\displaystyle |x|.} Примеры: | 3 | = 3 ; | − 3 | = 3. {\displaystyle |3|=3;\ |{-3}|=3.}

Для любых вещественных чисел a , b {\displaystyle a,b} имеют место следующие свойства.

Знак у нечисловых объектов

Знак угла

Величина угла на плоскости считается положительной, если она измеряется против часовой стрелки, иначе - отрицательной. Аналогично классифицируются два случая вращения :

• вращение на плоскости - например, вращение на (–90°) происходит по часовой стрелке;
• поворот в пространстве вокруг ориентированной оси, как правило, считается положительным, если выполнено «правило буравчика », иначе он считается отрицательным.

Знак направления

В аналитической геометрии и физике нередко продвижения вдоль заданной прямой или кривой условно делятся на положительные и отрицательные. Такое деление может зависеть от постановки задачи или от выбранной системы координат. Например, при подсчёте длины дуги кривой часто удобно приписать этой длине на одном из двух возможных направлений знак минус.

Знак в вычислительной технике

старший бит
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Для представления знака целого числа большинство компьютеров используют

Цели урока

Познакомить школьников с таким математическим понятием, как модуль числа;
Научить школьников навыкам нахождения модулей чисел;
Закрепить изученный материал с помощью выполнения различных заданий;

Задачи

Закрепить знания детей о модуле числа;
С помощью решения тестовых заданий проверить, как усвоили ученики изученный материал;
Продолжать прививать интерес к урокам математики;
Воспитывать у школьников логическое мышление, любознательность и усидчивость.

План урока

1. Общие понятия и определение модуля числа.
2. Геометрический смысл модуля.
3. Модуль числа его свойства.
4. Решение уравнений и неравенств, которые содержат модуль числа.
5. Историческая справка о термине «модуль числа».
6. Задание на закрепление знаний пройденной темы.
7. Домашнее задание.

Общие понятия о модуле числа

Модулем числа принято называть само число, если оно не имеет отрицательного значения, или это же число отрицательное, но с противоположным знаком.

То есть, модулем неотрицательного действительного числа a является само это число:

А, модулем отрицательного действительного числа х будет противоположное число:

В записи это будет выглядеть так:

Для более доступного понимания приведем пример. Так, например, модулем числа 3 будет 3, и также модулем числа -3, является 3.

Из этого следует, что под модулем числа подразумевается абсолютная величина, то есть, ее абсолютное значение, но без учета его знака. Если говорить еще более просто, то необходимо от числа отбросить знак.

Обозначаться и выглядеть модуль числа может так: |3|, |х|, |а| и т.д.

Так, например, модуль числа 3 обозначается |3|.

Также, следует помнить, что модуль числа никогда не бывает отрицательным: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45 и т.д.

Геометрический смысл модуля

Модулем числа называют расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до точки. В этом определении раскрывается модуль с геометрической точки зрения.

Возьмем координатную прямую и обозначим на ней две точки. Пускай этим точкам будут соответствовать такие числа, как −4 и 2.

Теперь давайте обратим внимание на данный рисунок. Мы видим, что обозначенная на координатной прямой точка А соответствует числу -4 и если вы внимательно посмотрите, то увидите, что эта точка находится от точки отсчета 0 на расстоянии 4 единичных отрезков. Отсюда следует, что длина отрезка OA равняется четырем единицам. В этом случае, длина отрезка ОА, то есть число 4 будет модулем числа -4.

Обозначается и записывается в данном случае модуль числа таким образом: |−4| = 4.

Теперь возьмем, и на координатной прямой обозначим точку В.

Эта точка В будет соответствовать числу +2, и находится она, как мы видим, от начала отсчета на расстоянии двух единичных отрезков. Из этого следует, что длина отрезка OB равняется двум единицам. В этом случае число 2 будет модулем числа +2.

В записи это будет выглядеть так: |+2| = 2 или |2| = 2.

А теперь подведем итог. Если мы с вами возьмем какое-то неизвестное число а и обозначим его на координатной прямой точкой А, то в этом случае расстояние от точки A до начала отсчёта, то есть длинна отрезка ОА, как раз и является модулем числа «a».

В записи это будет выглядеть так: |a| = OA.

Модуль числа его свойства

А теперь давайте попробуем выделить свойства модуля, рассмотреть всевозможные случаи и записать их с помощью буквенных выражений:

Во-первых, модулем числа является число неотрицательное, а значит модуль положительного числа, равен самому числу: |a| = a, если a > 0;

Во-вторых, модули, которые состоят из противоположных чисел, равны: |а| = |–а|. То есть это свойство говорит нам о том, что противоположные числа всегда имеют равные модули, та как на координатной прямой, хотя они и имеют противоположные числа, но они находятся на одинаковом расстоянии от точки отсчета. Из этого следует, что и модули этих противоположных чисел равны.

В-третьих, модуль нуля равняется нулю в том случае, если это число является нулем: |0| = 0, если a = 0. Здесь можно с уверенностью сказать, что модулем нуля является ноль по определению, так как ему соответствует начало отсчета координатной прямой.

Четвертым свойством модуля является то, что модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел. Теперь подробнее рассмотрим, что это значит. Если следовать определению, то мы с вами знаем, что модуль произведения чисел a и b будет равен a b, или −(a b), если, а в ≥ 0, или же – (а в), если, а в больше 0. В записи это будет выглядеть так: |а b| = |а| |b|.

Пятым свойством является то, что модуль частного от деления чисел равен отношению модулей этих чисел: |а: b| = |а| : |b|.

И следующие свойства модуля числа:

Решение уравнений и неравенств, которые содержат модуль числа

Приступив к решению задач, которые имеют модуль числа, следует помнить, что чтобы решить такое задание, необходимо раскрыть знак модуля, используя знания свойств, которым эта задача соответствует.

Задание 1

Так, к примеру, если под знаком модуля стоит выражение, которое зависит от переменной, то раскрывать модуль следует в соответствии с определением:

Конечно же, при решении задач бывают случаи, когда модуль раскрывается однозначно. Если, например, взять

, здесь мы видим, что такое выражение под знаком модуля неотрицательно при любых значениях х и у.

Или, же для примера берем

, мы видим, что это выражение под модулем не положительно при любых значениях z.

Задание 2

Перед вами изображена координатная прямая. На этой прямой необходимо отметить числа, модуль которых будет равен 2.

Решение

В первую очередь, мы должны начертить координатную прямую. Вам уже известно, что для этого, вначале на прямой необходимо выбрать начало отсчета, направление и единичный отрезок. Далее, нам нужно от начала отсчета поставить точки, которые равны расстоянию двух единичных отрезков.

Как видим, таких точек на координатной прямой две, одна из которых соответствует числу -2, а другая числу 2.

Историческая справка о модуле числа

Термин «модуль» произошел от латинского названия modulus, что в переводе обозначает слово «мера». Ввел в обращение этот термин английский математик Роджер Котес. А вот знак модуля был введен благодаря немецкому математику Карлу Вейерштрассу. При написании модуль обозначается с помощью такого символа: | |.

Вопросы на закрепление знаний материала

На сегодняшнем уроке мы с вами познакомились с таким понятием, как модуль числа, а теперь давайте проверим, как вы усвоили эту тему, ответив на поставленные вопросы:

1. Как называется число, которое противоположно положительному числу?
2. Какое название носит число, которое противоположно отрицательному числу?
3. Назовите число, которое является противоположным нулю. Существует ли такое число?
4. Назовите то число, которое не может являться модулем числа.
5. Дайте определение модулю числа.

Домашнее задание

1. Перед вами изображены числа, которые вам нужно расположить в порядке убывания модулей. Если вы правильно выполните задание, то узнаете фамилию человека, который впервые ввел в математику термин «модуль».

2. Начертите координатную прямую и найдите расстояние от М(-5) и К (8) до начала отсчета.

Предмети > Математика > Математика 6 класс

Руководитель ШМО
учителей математики _______Калашникова Ж.ЮМуниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №89»
Тематические тесты по математике для 6-ых классов
по учебнику И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича
Составили: учителя математики:
Калашникова Жанна Юрьевна
Столбова Людмила Антоновна
ЗАТО г. Северск
2016 год
Содержание
Тест №1………………………………………………………………………………………….3-6
Тест №2………………………………………………………………………………………….7-10
Тест №3………………………………………………………………………………………….11-14
Ответы…………………………………………………………………………………………..15
Тест №1 «Положительные и отрицательные числа»
Вариант 1
Укажите отрицательное дробное число:
-165
38
-7.92
67Охарактеризуйте событие «На координатном луче отмечено число -5,5»
Достоверное
Невозможное
Случайное

Какое из четырёх чисел наибольшее?
8,035
80,35
0,8035
803,5
Какая из точек расположена на координатной прямой правее точки О (0)?
M (-4)
E (-15)
K (15)
D (-1,2)
Ночью температура воздуха была -5°C. Днём на термометре было уже +3 °C. Как изменилась температура воздуха?
Повысилась на 8о
Понизилась на 2о
Повысилась на 2о
Понизилась на 8о
На координатной прямой отмечена точка x(-2) – центр симметрии. Укажите координаты точек, расположенных на этой прямой симметрично точке x.

(-1) и (1)
(-1) и (1)
(3) и (-3)
(0) и (-4)
Какие точки на координатной прямой не являются симметричными относительно начало отсчёта - точки О (0).
В(-5) и С(5)
D(0,5) и E(-0,5)
M(-3) и K(13)
А(18) и X(-18)
Чему равна сумма чисел 0,316+0,4?
0,356
0,716
4,316
0,32
Вычислите 25% от числа 0,4.
0,1
0,001
10
100
Вычислите разность 9100 и 0,03
0,05
0,6
9,03
350Вариант 2
Укажите отрицательное дробное число.
8,63
-1045
913-0,2
Охарактеризуйте событие «На координатном луче отмечено число 7».
Случайное
Невозможное
Достоверное
Какое из чисел наименьшее?
15,49
154,9
1,549
1549
Какая из точек расположена на координатной прямой левее точки О(0).
А(-0,5)
В(6)
М(0,5)
К(38)
Днём термометр показывал +5°C, а к вечеру -2 °C. Как изменилась температура воздуха?
Повысилась на 3о
Понизилась на 7о
Понизилась на 3о
Повысилась на 7о
На координатной прямой отмечен центр симметрии – точка А(-3). Укажите координаты точек, расположенных на этой прямой симметрично точке А.

(-2) и (2)
(0) и (-5)
(-6) и (1)
(-1) и (-5)
Какие точки координатной прямой не являются симметричными относительно начало отсчёта - точки О(0).
А(6) и В(-6)
С(12) и D(-2)
М(-1) и К(1)
X (-9) и Y(9)
Чему равна сумма чисел 0,237 и 0,3
0,24
3,237
0,537
0,267
Вычислите 20% от числа 0,5
10
0,1
0,2
0,01
Вычислите разность 0,07 и 31001250,5
1
425Тест №2. Модуль числа. Противоположные числа.
Вариант 1
Какое из данных чисел имеет наименьший модуль
-11
1013-4,196
-4,2
Укажите неверное равенство
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58Модуль неотрицательного числа является неотрицательным числом. Верно ли это утверждение.
Да
Нет
Какое из данных чисел противоположно числу -34 ?43-43-3434Чему равно значение выражение -(-m), если m = -15
+15
-15
Вычислите значение выражения: -2,5∙4--919
-10
1
-1
Решите уравнение: х=40-40
40
40 или -40
Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами- 2,75 и 3,9?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
Верно ли неравенство -30>-50Да
Нет
Укажите все целые числа x, если x≤30, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
Вариант 2
Какое из чисел имеет наибольший модуль?
-0,6
-50,603
493550,530
Укажите неверное равенство
-1,5=1,512=12-117=117-325=-325Может ли модуль отрицательного числа быть отрицательным числом
Да
Нет

Какое из данных чисел противоположно числу 124?
-24
24
-124124Чему равно значение выражения –(-k), если k = -9
-9
+9
Вычислите значение выражения: 2,5:-0,5+1,250
15
-2,5
2,5
Решите уравнение x=100100
-100
100 или -100
Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами 1 и - 4,5
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
Верно ли неравенство -25<-10?
Да
Нет
Укажите все целые числа x, если x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Тест №3. Сравнение чисел
Вариант 1
Какое из неравенств неверно?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3

-320 -920>
<
=
Верно ли, что число 0 больше любого отрицательного числа?
Да
Нет
Число a неотрицательное. Как записать это утверждение в виде неравенства?
a<0a≤0a≥0a>0Укажите наибольшее из данных чисел.
0,16
-3018-0,4
0,01
При каких натуральных значениях x верно неравенство x≤44, 3, 2
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
При каких целых значениях y верно неравенство y<-2?0
-1
0, -1, 1
Нет таких значений
Числа -6; -3,8; -115; 0,8 расположены:
В порядке уменьшения
В порядке увеличения
В беспорядке
По радио передали прогноз погоды: ожидается понижение температуры до -20 оС. Охарактеризуйте это событие:
Невозможное
Достоверное
Случайное
Вариант 2
Какое из неравенств верно?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Какой знак надо записать между данными дробями, чтобы неравенство было верным?
-1315 -715<
>
=
Верно ли, что число 0 меньше любого отрицательного числа?
Да
Нет
Число x не больше нуля. Как записать это утверждение в виде неравенства?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35При каких натуральных значениях a верно неравенство a≤3?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
При каких целых значениях m верно неравенство m<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Нет таких значений
Числа 1,2; -1,2; -427; -100 расположены:
В беспорядке
В порядке увеличения
В порядке уменьшения
На координатной прямой отмечена точка А(5). На этой прямой отметили наугад другую точку В. Её координатой оказалось число противоположное числу 5. Охарактеризуйте это событие.
Случайное
Достоверное
Невозможное
Ответы
Тест №1 Тест №2
№ Вариант 1 Вариант 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
№ Вариант 1 Вариант 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4

Тест №3
№ Вариант 1 Вариант 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3